Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)為3x-1，2x+6，33-x（x∈R）．
（1）求通項(xiàng)公式a_n；
（2）求當(dāng)n為何值時(shí)，前n項(xiàng)和S_n最大．
（3）令b_n=a_n•2^n-1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差中項(xiàng)列出方程求出x的值，求出數(shù)列的首項(xiàng)、公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）假設(shè)前n項(xiàng)和最大，則前n項(xiàng)都是非負(fù)項(xiàng)，從第n項(xiàng)開始后面的項(xiàng)是非正項(xiàng)，列出不等式求出n的值．
（3）根據(jù)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)特點(diǎn)：一個(gè)等差與等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的新數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）由2（2x+6）=3x-1+33-x得x=10
數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為29，公差為-3的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-3n+32
（2）由

an≥0 an+1≤0

得

-3n+32≥0 -3(n+1)+32≤0

，

29

3

≤n≤

32

3

，
當(dāng)n=10時(shí)，前n項(xiàng)和S_n最大
（3）T_n=29+26•2+23•2²+…+（-3n+32）•2^n-1
2T_n=29•2+26•2²+…+（-3n+29）•2^n-1+（-3n+32）•2ⁿ
兩式相減得-T_n=29-3（2+2²+…+2^n-1）-（-3n+32）•2ⁿ
化簡得T_n=（35-3n）•2ⁿ-35

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和公式．