已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；

（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.

求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標(biāo)原點）.

 

【答案】

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)點 的坐標(biāo)為 則, ,化簡可得軌跡方程.

（Ⅱ）設(shè)出直線PE、PF的點斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線C的另一交個交點Q、R.的坐標(biāo),寫出直線的方程,點到直線的距離公式可求的底邊上的高.進而得出面積的表達式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點， 2分

整理得點M所在的曲線C的方程：（） 3分

（Ⅱ）由題意可得點P（） 4分

因為圓的圓心為（1，0），

所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)

----------5分

設(shè)直線PE的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立消去，得：

， 6分

由于1是方程的一個解，

所以方程的另一解為 7分

同理 8分

故直線RQ的斜率為

= 9分

把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去整理得

所以 10分

原點O到直線RQ的距離為 11分

. 12分

考點：1、動點軌跡方程的求法；2、直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系；3、基本不等式的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A、B是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，且k1k2≠0．若|k1|+|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率（　�。�
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
2
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知兩點F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，曲線C上的動點P（x，y）滿足
.
PF1
•
.
PF2
+|
.
PF1
|×|
.
PF2
|=2．
（I）求曲線C的方程；
（II）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），對定點A（0，-1），是否存在實數(shù)m，使直線l與曲線C有兩個不同的交點M、N，滿足|AM|=|AN|？若存在，求出m的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A、B分別是橢圓長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，若|k1•k2|=
1
4
，則橢圓的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年遼寧沈陽市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.

（Ⅰ）求點M的軌跡方程；

（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.

求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標(biāo)原點）.

 

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