Question

【題目】已知函數(shù)， （其中為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與軸平行.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，若函數(shù)有兩個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，解出，再求導函數(shù)零點，根據(jù)導函數(shù)符號確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（2）先化簡，再求導數(shù)，利用參變分離轉(zhuǎn)化為研究兩曲線交點個數(shù)問題：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖像有兩個不同交點，再利用導數(shù)研究函數(shù)圖像，結(jié)合圖像確定有兩個交點需滿足的條件

試題解析：解：（Ⅰ）因為

所以的定義域為，且，

由于曲線在處的切線與軸平行，

所以，因此;

所以

令， ，

當時， ，

當時， ，

又因為，

所以當時， ，

當時， ，

因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又因為， ，

所以，

由得，令，

所以函數(shù)有兩個不同零點等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖像有兩個不同交點，

又因為，

當時，由得，

當時， ，

當時， img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/29/17/cc31a5e0/SYS201712291718517226540281_DA/SYS201712291718517226540281_DA.052.png" width="64" height="27" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間上單調(diào)遞增，

因此，

又因為， ，

所以，則，

結(jié)合函數(shù)圖像可得，當時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有兩個不同交點，

即當時， 函數(shù)有兩個不同零點，

綜上可得，所求實數(shù)的取值范圍為．