Question

橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明＋為定值，并求出這個定值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）＋為定值，這個定值為－8

【解析】(1)由于c2＝a2－b2，將x＝－c代入橢圓方程＝1，得y＝±.

由題意知＝1，即a＝2b2.

又e＝＝，所以a＝2，b＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

(2)設P(x0，y0)(y0≠0)，又F1(－，0)，F2(，0)，

知，

直線l的方程為y－y0＝k(x－x0)．聯(lián)立得

整理得(1＋4k2)x2＋8(ky0－k2x0)x＋4(－2kx0y0＋k2－1)＝0.

由題意Δ＝0，即(4－)k2＋2x0y0k＋1－＝0.

又＋＝1，

所以16k2＋8x0y0k＋＝0，故k＝－.

所以＋＝＝·＝－8，

因此＋為定值，這個定值為－8