Question

如圖，過拋物線C：y²＝4x上一點P(1，－2)作傾斜角互補的兩條直線，分別與拋物線交于點A(x_，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求y₁＋y₂的值；
(2)若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

（1）y₁＋y₂＝4.（2）6

(1)因為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在拋物線C：y²＝4x上，所以A，B，k_PA＝，同理k_PB＝，依題意有k_PA＝－k_PB，因為＝－，所以y₁＋y₂＝4
(2)由(1)知k_AB＝＝1，設AB的方程為y－y₁＝x－，即x－y＋y₁－＝0，P到AB的距離為d＝，AB＝·＝|y₁－y₂|＝2|2－y₁|，所以S_△PAB＝××2|2－y₁|＝|－4y₁－12||y₁－2|＝|(y₁－2)²－16|·|y₁－2|，令y₁－2＝t，由y₁＋y₂＝4，y₁≥0，y₂≥0，可知－2≤t≤2.S_△PAB＝|t³－16t|，因為S_△PAB＝|t³－16t|為偶函數(shù)，只考慮0≤t≤2的情況，記f(t)＝|t³－16t|＝16t－t³，f′(t)＝16－3t²>0，故f(t)在[0，2]是單調(diào)增函數(shù)，故f(t)的最大值為f(2)＝24，故S_△PAB的最大值為6