Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線W的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，過(guò)點(diǎn)F作x 軸的垂線與W交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限，|AB|=8，過(guò)點(diǎn)B作直線BC與x軸交于點(diǎn)T（t，0）（t＞2），與拋物線交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線W的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若t=6，曲線G：x²+y²-2ax-4y+a²=0與直線BC有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若|OB|²+|OC|²≤|BC|²，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)拋物線是標(biāo)準(zhǔn)方程可確定焦點(diǎn)的位置，設(shè)拋物線的方程為y²=2px，再由，|AB|=8求得p值即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），寫(xiě)出直線BC的方程為x-y-6=0，曲線G：x²+y²-2ax-4y+a²=0與直線BC有公共點(diǎn)說(shuō)明圓心到直線的距離不大于半徑，從而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）直線BT 的方程為y=

4

t-2

(x-t)，代入拋物線方程y²=8x，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合|OB|²+|OC|²≤|BC|²，∠BOC為鈍角或直角，利用向量的數(shù)量積解得2＜t≤8最后即可救是ABC的面積最大值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=2px，（p＞0）
令x=

p

2

，得y²=p²
所以2p=|AB|=8
拋物線的方程為y²=8x．…（4分）
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），則直線BC的方程為x-y-6=0…（5分）
曲線G：（x-a）²+（y-2）²=4，是以（a，2）為圓心，2為半徑的圓      …（6分）
由題意

|a-2-6|

2

≤2，解得8-2

2

≤a≤8+2

2

．…（8分）
（3）直線BT 的方程為y=

4

t-2

(x-t)，代入拋物線方程y²=8x，得：
2x²-（t²+4）x+2t²=0
因?yàn)閠＞2，所以△=t⁴-8t²+16=（t²-4）²＞0．…（9分）
因?yàn)閤=2是這個(gè)方程的一個(gè)根，設(shè)C（x_C，y_C）根據(jù)韋達(dá)定理2x_C=t²，所以xC=

t2

2

再由拋物線方程可得y_C=2t，即點(diǎn)C(

t2

2

，2t)．…（10分）
因?yàn)閨OB|²+|OC|²≤|BC|²，所以∠BOC為鈍角或直角
所以

OB

•

OC

≤0，即2x_C-4y_C≤0，t²-8t≤0，且t＞2，解得2＜t≤8．…（12分）
ABC的面積S_△ABC=

1

2

|AB|•(xC-2)=2t2-8
所以當(dāng)t=8時(shí)，S_△ABC最大值為120．…．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)．是中檔題．