如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=BC=DC=2，AE=2
2
，AB⊥AD，且AE⊥平面ABD，平面CBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-D的余弦值．
（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2
2
），
取BD中點(diǎn)T，連CT，AT，則CT⊥BD，
又平面CBD⊥平面ABD，
∴CT⊥平面ABD，∴CT∥AE，
∵CD=BC=2，BD=2
2
，
∴CD⊥CB，∴CT=
2
，
∴C（1，1，
2
），
∴
AB
=（2，0，0），
DE
=（0，-2，2
2
），
DC
=（1，-1，
2
），
設(shè)平面CDE的一個法向量為
n
=（x，y，z），
則有
-2y+2
2
z=0
x-y+
2
z=0
，
取z=2，則y=2
2
，x=0，
∴
n
=（0，2
2
，2），
∴
AB
•
n
=0
∴AB∥平面CDE；
（Ⅱ）∵BD⊥AT，BD⊥AE，∴BD⊥平面ACE，
∴平面AEC的一個法向量為
BD
=（-2，2，0），
∵平面CDE的一個法向量
n
=（0，2
2
，2），
∴cos＜
n
，
BD
＞=
3
2
2
2
•2
3
=
3
4
，
∴二面角A-EC-D的余弦值為
3
4
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖幾何體中，四邊形ABCD為矩形，AB=3BC=6，EF =4，BF=CF=AE=DE=2，  EF∥AB，G為FC的中點(diǎn)，M為線段CD上的一點(diǎn)，且CM =2．
（1）證明：平面BGM⊥平面BFC；
（2）求三棱錐F－BMC的體積V．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求證：PC⊥BC；
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

平行四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，DB=4，以BD為棱把四邊形ABCD折成1200的二面角，則AC的長為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，AA1=2
2
，∠ACB=90°，M是AA1的中點(diǎn)，N是BC1的中點(diǎn)
（1）求證：MN∥平面A1B1C1；
（2）求點(diǎn)C1到平面BMC的距離；
（3）求二面角B-C1M-A1的平面角的余弦值大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為45°？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=
1
2
AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)，DC1⊥BD
（1）證明：DC1⊥BC
（2）求二面角A1-BD-C1的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(　　)．
A．　　B．C．　　D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

將圖(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖(2))，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(　　)
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．異面且垂直D．異面但不垂直

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同步練習(xí)冊答案