Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B，C分別為橢圓E的右、下、上頂點(diǎn)，滿足

FC

•

BA

=5，橢圓的離心率為

1

2

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若P為線段FC（包括端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，當(dāng)

PA

 • 

PB

取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M為線段BC（包括端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線MF交橢圓于點(diǎn)N，若

NF

=λ

FM

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)得到向量

FC

，

BA

的坐標(biāo)，由數(shù)量積等于5，結(jié)合離心率即隱含條件聯(lián)立求解a，b c的值，則橢圓的方程可求；
（2）由題意求出線段FC的方程，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式后化為關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值，并求出取得最值時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，由

NF

=λ

FM

把N點(diǎn)的坐標(biāo)用含有λ和m的代數(shù)式表示，把N代代入橢圓方程得到m和λ的關(guān)系式，由m得范圍進(jìn)一步求解λ的范圍．

解答：解：（1）設(shè)F（-c，0）．
∵A（a，0），B（0，-b），C（0，b），
∴

FC

=(c，b)，

BA

=(a，b)．
∵

FC

•

BA

=5，∴ac+b²=5①．
又

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²②．
由①②得a=2，c=1，b=

3

．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由題意可得線段FC的方程為y=

3

x+

3

(-1≤x≤0)．
設(shè)P（x，y），則

PA

=(2-x，-y)，

PB

=(-x，-

3

-y)．

PA

•

PB

=x(x-2)+y(y+

3

)=x(x-2)+3(x+1)(x+2)=4(x+

7

8

)2+

47

16

．
當(dāng)

PA

•

PB

取得最小值時(shí)，x=-

7

8

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-

7

8

，

3

8

)；
（3）設(shè)M（0，m），由

NF

=λ

FM

，得N（-1-λ，-λm）．
代入橢圓的方程得：3（-1-λ）²+4（-λm）²-12=0．
即4（λm）²=12-3（1+λ）²．
∵m∈[-

3

，

3

]，∴0≤4（λm）²≤12λ²．
則0≤12-3（1+λ）²≤12λ²．
解得：-3≤λ≤-1（舍）或

3

5

≤λ≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用向量法求解解析幾何問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是對(duì)向量的坐標(biāo)表示法的熟練運(yùn)用，屬有一定難度題目．