Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)無窮數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）當(dāng)數(shù)列{a_n}是常數(shù)列（各項(xiàng)都相等的數(shù)列），且b₁=

1

2

時(shí)，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){a_n}、{b_n}都是公差不為0的等差數(shù)列，求證：數(shù)列{a_n}有無窮多個(gè)，而數(shù)列{b_n}惟一確定；
（Ⅲ）設(shè)a_n+1=

2an2+an

an+1

(n∈N*)，S_n=

2n

i=1

bi，求證：2＜

Sn

n2

＜6．

Answer 1

分析：（I）設(shè)a_n=a＞0，利用數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*），可得b_n+1+b_n=2n，（n∈N^*），于是當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+b_n-1=2（n-1）．于是b_n+1-b_n-1=2．可知：數(shù)列{b_n}當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)按原順序均構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）設(shè){a_n}、{b_n}公差分別為d₁、d₂，可得其通項(xiàng)公式，代入a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．可得[a₁+（n-1）d₁][b₁+nd₂]+（a₁+nd₁）[b₁+（n-1）d₂]=2n（a₁+nd₁），對(duì)于任意n恒成立，可得

2d1d2=2d1 2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1 2a1b1-b1d1-a1d2=0

，解出即可；
（III）利用an+1=

2 a 2 n +an

an+1

，可得a_n+1-a_n=

2 a 2 n +an

an+1

-a_n=

a 2 n

an+1

＞0，于是a_n＜a_n+1．利用a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1＜a_n+1b_n+1+a_n+1b_n，可得2n＜b_n+1+b_n．又a_nb_n+1=（2n-b_n）•a_n+1＞0，a_n+1＞0，可得2n-b_n＞0．可得Sn∈(2n2，4n2+2n)，進(jìn)而得出．

解答：（I）解：設(shè)a_n=a＞0，∵數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*），
∴b_n+1+b_n=2n，（n∈N^*），于是當(dāng)n≥2時(shí)，b_n+b_n-1=2（n-1）．
∴b_n+1-b_n-1=2．
∴可知：數(shù)列{b_n}當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)按原順序均構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列，
又b1=

1

2

，b₁+b₂=2，可得b2=

3

2

．
∴b2n-1=

1

2

+(n-1)•2=(2n-1)-

1

2

，b2n=

3

2

+(n-1)•2=2n-

1

2

，
即bn=n-

1

2

（n∈N^*）．
（2）證明：設(shè){a_n}、{b_n}公差分別為d₁、d₂，
則a_n=a₁+（n-1）d，b_n=b₁+（n-1）d₂，
代入a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1（n∈N^*）．
可得[a₁+（n-1）d₁][b₁+nd₂]+（a₁+nd₁）[b₁+（n-1）d₂]=2n（a₁+nd₁），對(duì)于任意n恒成立，
可得

2d1d2=2d1 2b1d1+2a1d2-2a1d2=2a1 2a1b1-b1d1-a1d2=0

，解得

d1=a1 b1=1 d2=1

，
可得a_n=na₁，b_n=n．
∴只有取a₁＞0可得數(shù)列{a_n}有無窮多個(gè)，而數(shù)列{b_n}惟一確定；
（3）證明：∵an+1=

2 a 2 n +an

an+1

，
∴a_n+1-a_n=

2 a 2 n +an

an+1

-a_n=

a 2 n

an+1

＞0，
∴a_n＜a_n+1．
∴a_nb_n+1+a_n+1b_n=2na_n+1＜a_n+1b_n+1+a_n+1b_n，可得2n＜b_n+1+b_n．
因此Sn=

2n

i=1

bi=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＞2[1+3+…+（2n-1）]=2n²．
又a_nb_n+1=（2n-b_n）•a_n+1＞0，a_n+1＞0，
∴2n-b_n＞0．
∴Sn=

2n

i=1

bi＜2(1+2+…+2n)=2n（1+2n）=4n²+2n，
∴Sn∈(2n2，4n2+2n)，
∴2＜

Sn

n2

＜4+

2

n

≤6．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性、放縮法等是解題的關(guān)鍵．