Question

【題目】如圖，已知拋物線：，過焦點斜率大于零的直線交拋物線于、兩點，且與其準(zhǔn)線交于點．

（Ⅰ）若線段的長為，求直線的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為直線過焦點，所以設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，利用焦點弦長公式，，解得直線方程；

（Ⅱ）設(shè)，用坐標(biāo)表示直線的斜率，若成等差數(shù)列，那么,代入（1）的坐標(biāo)后，若恒成立，解得點的坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）焦點∵直線的斜率不為，所以設(shè)，

， 由得，

，，

，，

∴， ∴． ∴直線的斜率，

∵，∴， ∴直線的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，

同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，

∴恒成立，

即恒成立．

∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．