【題目】已知動圓M恒過點(diǎn)（0，1），且與直線y=﹣1相切．
（1）求圓心M的軌跡方程；
（2）動直線l過點(diǎn)P（0，﹣2），且與點(diǎn)M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點(diǎn)．

【答案】
（1）解：∵動點(diǎn)M到直線y=﹣1的距離等于到定點(diǎn)C（0，1）的距離，

∴動點(diǎn)M的軌跡為拋物線，且 =1，解得：p=2，

∴動點(diǎn)M的軌跡方程為x2=4y


（2）解：證明：由題意可知直線l的斜率存在，

設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．

聯(lián)立 ，化為x2﹣4kx+8=0，

△=16k2﹣32＞0，

解得k＞ 或k＜﹣ ．

∴x1+x2=4k，x1x2=8．

直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣ （x+x2），

又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，

∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，

化為4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），

∵x1=4k﹣x2，

∴4y=（x2﹣x1）x+8，

令x=0，則y=2，

∴直線AC恒過一定點(diǎn)（0，2）


【解析】（1）由題意可知圓心M的軌跡為以（0，1）為焦點(diǎn)，直線y=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線的方程即可求得圓心M的軌跡方程；（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），則C（﹣x2，y2）．代入拋物線方，由韋達(dá)定理及直線直線AC的方程為：y﹣y2=﹣ （x+x2），把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，即可得出直線恒過定點(diǎn)．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，若x0滿足關(guān)于x的方程2ax+b=0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是（ ）
A.x∈R，f（x）≤f（x0）
B.x∈R，f（x）≥f（x0）
C.x∈R，f（x）≤f（x0）
D.x∈R，f（x）≥f（x0）

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（2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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【題目】已知圓與圓

（1）若直線與圓相交于兩個不同點(diǎn)，求的最小值；

（2）直線上是否存在點(diǎn)，滿足經(jīng)過點(diǎn)有無數(shù)對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，并且直線被圓所截得的弦長等于直線被圓所截得的弦長？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知函數(shù)將的圖象向右平移兩個單位，得到函數(shù)的圖象.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若方程在上有且僅有一個實(shí)根，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)，已知對任意的恒成立，求的取值范圍.

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【題目】已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線 與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由

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【題目】計(jì)算:(1) ;

(2) .

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【題目】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且f'（x）＜f（x）對任意的x∈R恒成立，則下列不等式均成立的是（ ）
A.f（ln2）＜2f（0），f（2）＜e2f（0）
B.f（ln2）＞2f（0），f（2）＞e2f（0）
C.f（ln2）＜2f（0），f（2）＞e2f（0）
D.f（ln2）＞2f（0），f（2）＜e2f（0）

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A.
B.
C.
D.

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