Question

【題目】如圖，已知橢圓C： 的右頂點(diǎn)為A，離心率為e，且橢圓C過點(diǎn) ，以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知動直線l（直線l不過原點(diǎn)且斜率存在）與橢圓C交于P，Q兩個不同的點(diǎn)，且△OPQ的面積S=1，若N為線段PQ的中點(diǎn)，問：在x軸上是否存在兩個定點(diǎn)E1 ， E2 ， 使得直線NE1與NE2的斜率之積為定值？若存在，求出E1 ， E2的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接EF，則EF⊥FA，則xF=c=2e，則c= ，解得：a=2，

故點(diǎn)E（c， ），代入橢圓方程： ，解得：c= ，

b2=a2﹣c2=1，

故橢圓的方程：

（2）

解：設(shè)直線l的方程為：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

則 ，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2=4=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則丨PQ丨= = ，

原點(diǎn)到直線l的距離d= ，

∴△OPQ的面積S△OPQ= 丨PQ丨×d= × =1，

即2丨m丨 =1+4k2，則1+4k2=2m2，

設(shè)N（x，y），則x= =﹣ =﹣ ，y= = = ，

由①，②消去m， ，

假設(shè)x軸上，存在兩定點(diǎn)E1（s，0），E2（t，0），（s≠t）

那么直線NE1的斜率k1= ，直線NE2的斜率k2= ，

則k1k2= =﹣ ，

當(dāng)且僅當(dāng)s+t=0，st=﹣2，k1k2=﹣ ，解得：s= ，t=﹣ ，

即存在定點(diǎn)E1（ ，0），E2（﹣ ，0），滿足題意．

【解析】（1）由題意可知c=2e，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得a，將E代入橢圓方程，即可求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，由S=1，求得1+4k2=2m2 ， 設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式，即可求得兩點(diǎn)坐標(biāo)．