Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和，數(shù)列{b_n}有b₁=2，（n≥1）
（1）求{a_n}，{b_n}的通項；
（2）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的通項公式及前n項和T_n．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n，
∴n=1時，a₁=2；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∴a_n=2n（n∈N），
由題意可得數(shù)列{b_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故b_n=2•2^n-1=2ⁿ
（2）由（1）可知c_n=a_nb_n=2n•2ⁿ=n•2ⁿ⁺¹，
故T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，①
則2T_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，②
①-②可得：-T_n=1•2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=-n•2ⁿ⁺²=-（n-1）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4，
分析：（1）由題意可得n=1時，a₁=2；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，進而可得a_n=2n，而數(shù)列數(shù)列{b_n}為首項為2，公比為2的等比數(shù)列，易得通項；（2）可得c_n=n•2ⁿ⁺¹，由錯位相減法可求和．
點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的求解，以及錯位相減法求和，屬基礎題．