Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．對(duì)任意的點(diǎn)，定義．任取點(diǎn)，，記，，若此時(shí)成立，則稱(chēng)點(diǎn)，相關(guān)．

（1）分別判斷下面各組中兩點(diǎn)是否相關(guān)，并說(shuō)明理由；

①，；②，．

（2）給定，，點(diǎn)集．

（）求集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（）若，且對(duì)于任意的，，點(diǎn)，相關(guān)，求中元素個(gè)數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①相關(guān)；②不相關(guān).（2）（）個(gè)（）.

【解析】

（1）根據(jù)所給定義，代入不等式化簡(jiǎn)變形可得對(duì)應(yīng)坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系，即可判斷所給兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否符合定義要求.

（2）（）根據(jù)所給點(diǎn)集，依次判斷在四個(gè)象限內(nèi)滿(mǎn)足的點(diǎn)個(gè)數(shù)，坐標(biāo)軸上及原點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得集合中與點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）由（1）可知相關(guān)點(diǎn)滿(mǎn)足，利用分類(lèi)討論證明，即可求得中元素個(gè)數(shù)的最大值．

若點(diǎn)，相關(guān)，則，，而，

不妨設(shè)，

則由定義可知，

化簡(jiǎn)變形可得，

（1）對(duì)于①，；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)取絕對(duì)值，代入可知成立，因此相關(guān)；

②對(duì)應(yīng)坐標(biāo)取絕對(duì)值，代入可知，因此不相關(guān).

（2）（）在第一象限內(nèi)，，可知且，有個(gè)點(diǎn)；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有個(gè)點(diǎn).

在軸正半軸上，點(diǎn)滿(mǎn)足條件；在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)滿(mǎn)足條件；

在軸正半軸上，點(diǎn)滿(mǎn)足條件；在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)滿(mǎn)足條件；

原點(diǎn)滿(mǎn)足條件；

因此集合中共有個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)相關(guān).

（）若兩個(gè)不同的點(diǎn)，相關(guān)，其中，，，，

可知.

下面證明.

若，則，成立；

若，則，

若，則，亦成立.

由于，

因此最多有個(gè)點(diǎn)兩兩相關(guān)，其中最多有個(gè)點(diǎn)在第一象限；最少有1個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸正半軸上，一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn).

因此中元素個(gè)數(shù)的最大值為.