【題目】以橢圓的中心為圓心,為半徑的圓稱為該橢圓的“準(zhǔn)圓”.設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,且滿足,.

1求橢圓及其“準(zhǔn)圓”的方程;

2)若橢圓的“準(zhǔn)圓”的一條弦(不與坐標(biāo)軸垂直)與橢圓交于、兩點(diǎn),試證明:當(dāng)時(shí),試問(wèn)弦的長(zhǎng)是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)橢圓的方程為;橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為;(2)的長(zhǎng)為定值

【解析】

試題分析:(1)求方程,關(guān)鍵是求,只要把兩個(gè)已知條件轉(zhuǎn)化為的方程即可,由,,聯(lián)立后可得結(jié)論;(2)這是定值問(wèn)題,解題時(shí)設(shè)直線的方程為,且與橢圓的交點(diǎn)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后得關(guān)于的一元二次方程,可得,計(jì)算,由=0,可得的關(guān)系式,問(wèn)題是弦長(zhǎng)為定值,由于弦是定圓中的弦,因此只要求得圓心到直線的距離,如果為定值,則弦長(zhǎng)也為定值.

試題解析:1設(shè)橢圓的左焦點(diǎn),由,又,即,所以,

則橢圓的方程為;橢圓的“準(zhǔn)圓”方程為.

2設(shè)直線的方程為,且與橢圓的交點(diǎn),

聯(lián)列方程組 代入消元得:

可得,所以

此時(shí)成立,

則原點(diǎn)到弦的距離,

得原點(diǎn)到弦的距離為,則,

故弦的長(zhǎng)為定值.

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A.10個(gè)
B.9個(gè)
C.8個(gè)
D.4個(gè)

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