Question

（2006•西城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=

3

a

x3-x（a∈R，a≠0）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）曲線y=f（x）在點(

3	a

，f(

3	a

))處的切線恒過y軸上一個定點，求此定點坐標；
（Ⅲ）若a＞0，x₁＞

a 3

，曲線y=f（x）在點（x₁，f（x₁））處的切線與x軸的交點為（x₂，0），試比較x₁與x₂的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求曲線的切線，利用切線求此定點坐標；
（Ⅲ）利用切線方程得到x軸的交點為（x₂，0），利用不等式比較x₁與x₂的大小．

解答：解：（I）f'（x）=

9

a

x2-1…（2分）
當a＜0時，f'（x）=

9

a

x2-1＜0，所以f（x）在R上是減函數(shù)…（3分）
當a＞0時，解

9

a

x2-1＞0，得x＞

a

3

或x＜-

a

3

解

9

a

x2-1＜0，得-

a

3

＜x＜

a

3

所以，區(qū)間(-

a

3

，

a

3

)上為f（x）的減區(qū)間，
區(qū)間(-∞，-

a

3

)和(

a

3

，+∞)為f（x）的增區(qū)間…（5分）
（II）在點(

3	a

，f(

3	a

))處曲線切線的斜率為

9

a

3	a2

-1…（6分）
切線方程為y-(3-

3	a

)=(

9

a

3	a2

-1)(x-

3	a

)…（7分）
令x=0，可得y=-6
所以切線恒過點（0，-6）…（9分）
（III）點（x₁，f（x₁））處曲線的切線方程為y-(

3

a

x

3 1

-x1)=(

9

a

x

2 1

-1)(x-x1)
令y=0，得x2=

6 x 3 1

9 x 2 1 -a

…（10分）
x2-x1=

6 x 3 1

9 x 2 1 -a

-x1=

x1(a-3 x 2 1 )

9 x 2 1 -a

因為a＞0，x1＞

a 3

，
所以x1＞0，9

x

2 1

-a＞0，a-3

x

2 1

＜0…（12分）
所以

x1(a- x 2 1 )

9 x 2 1 -a

＜0，所以x₂＜x₁…（13分）

點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)的應用，要求熟練掌握導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系，考查學生的運算能力．