Question

對(duì)拋物線(xiàn)C：x²=4y，有下列命題：
①設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+l，則直線(xiàn)l被拋物線(xiàn)C所截得的最短弦長(zhǎng)為4；
②已知直線(xiàn)l：y=kx+l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓一定與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切；
③過(guò)點(diǎn)P（2，t）（t∈R）與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有1條或3條；
④若拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)為F，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)Q（2，1）和拋物線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)R（2，m）（m＞1），過(guò)點(diǎn)Q作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)l₁，直線(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)Q且與l₁垂直，則l₂一定平分∠RQF．
其中你認(rèn)為是真命題的所有命題的序號(hào)是______．

Answer 1

①因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)為F（0，1），直線(xiàn)y=kx+l過(guò)焦點(diǎn)F，所以當(dāng)k=0時(shí)，直線(xiàn)l被拋物線(xiàn)C所截得的通徑最短，此時(shí)為2p=4，所以①正確．
②直線(xiàn)y=kx+l過(guò)焦點(diǎn)F，且拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-1．所以根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，A，B到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和為AB，
所以AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為

AB

2

，所以此時(shí)以AB為直徑的圓一定與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，所以②正確．
③當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，此時(shí)為x=2，此時(shí)直線(xiàn)和拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)只有1條．當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，不妨設(shè)為k，
此時(shí)和拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有兩條切線(xiàn)，所以過(guò)點(diǎn)P（2，t）（t∈R）與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線(xiàn)有1條或2條，所以③錯(cuò)誤．
④因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)為F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR為直角三角形，由x²=4y，得y=

1

4

x2，求導(dǎo)得y′=

1

2

x，
所以切線(xiàn)l₁的斜率為k₁=1，即直線(xiàn)l₁的傾斜角為45°，因?yàn)橹本�(xiàn)l₂過(guò)點(diǎn)Q且與l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．所以④正確．
故答案為：①②④．