Question

若｛a_n｝是公差d≠0的等差數(shù)列，通項(xiàng)為a_n，｛b_n｝是公比q≠1的等比數(shù)列.已知a₁=b₁=1，且a₂=b₂，a₆=b₃.

（1）求d和q；

（2）是否存在常數(shù)a，b使對(duì)于一切n∈N^*都有a_n=log_ab_n+b成立?若存在，則求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

思路解析：第（1）題可以通過(guò)已知條件，用基本量求解；第（2）題是個(gè)探索存在型

問(wèn)題，可以先設(shè)要證的結(jié)論存在，然后找結(jié)論存在的條件，最后根據(jù)推理過(guò)程中，有無(wú)矛盾發(fā)生，再得出結(jié)論.

解：（1）∵a₂=a₁+d=1+d，b₂=b₁q=q，而a₂=b₂，

∴1+d=q.                                                                     ①

又a₆=a₁+5d=1+5d，b₃=b₁q²=q²，

∴1+5d=q² .                                                                 ②

由①②可以解得q=4，d=3.

（2）假設(shè)存在常數(shù)a、b滿足等式，把

a_n=a₁+（n-1）d=3n-2，b_n=b₁q^n-1=4^n-1，

代入a_n=log_ab_n+b，得3n-2=log_a4^n-1+b，

即（3-log_a4）n+（log_a4-b-2）=0.                                 ③

∵n∈N^*，若③式對(duì)一切n∈N^*都成立，

則

解得a=，b=1.

深化升華

本題是個(gè)探索型問(wèn)題，探索實(shí)數(shù)a、b的存在性.

    解答此類問(wèn)題，一般先假設(shè)要求（或要證）的結(jié)論是存在的，然后利用條件和有關(guān)概念、公理、定理、法則進(jìn)行推理.如果能夠正確推理，則結(jié)論存在；反之，若出現(xiàn)矛盾，則結(jié)論不存在.