Question

【題目】對于無窮數(shù)列，記，若數(shù)列滿足：“存在，使得只要（且），必有”，則稱數(shù)列具有性質(zhì).

（Ⅰ）若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)？是否具有性質(zhì)？

（Ⅱ）求證：“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件；

（Ⅲ）已知是各項(xiàng)為正整數(shù)的數(shù)列，且既具有性質(zhì)，又具有性質(zhì)，求證：存在整數(shù)，使得是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）數(shù)列不具有性質(zhì)；具有性質(zhì);（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)新定義直接驗(yàn)證即可的結(jié)論（2）對于“是有限集”是“數(shù)列具有性質(zhì)”的必要不充分條件，先證不充分性對于周期數(shù)列， 是有限集，但是由于，

所以不具有性質(zhì)；再證必要性因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以一定存在一組最小的且，滿足，即，所以數(shù)列中必然會以某個周期進(jìn)行，所以數(shù)列中最多有個不同的項(xiàng)，從而得證（3）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列具有性質(zhì)，所以存在，使得， ，其中分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù)，然后根據(jù)其性質(zhì)列出相關(guān)等式可得結(jié)論，然后逐一分析取值討論

試題解析：

（Ⅰ）數(shù)列不具有性質(zhì)；具有性質(zhì).

（Ⅱ）（不充分性）對于周期數(shù)列， 是有限集，但是由于，

所以不具有性質(zhì)；

（必要性）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，

所以一定存在一組最小的且，滿足，即

由性質(zhì)的含義可得

所以數(shù)列中，從第k項(xiàng)開始的各項(xiàng)呈現(xiàn)周期性規(guī)律： 為一個周期中的各項(xiàng)，

所以數(shù)列中最多有個不同的項(xiàng)，

所以最多有個元素，即是有限集.

（Ⅲ）因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列具有性質(zhì)，

所以存在，使得， ，其中分別是滿足上述關(guān)系式的最小的正整數(shù)，

由性質(zhì)的含義可得， ，

若，則取，可得；

若，則取，可得.

記，則對于，有， ，顯然，

由性質(zhì)的含義可得， ，

所以

所以.

所以，

又是滿足， 的最小的正整數(shù)，

所以，

，

所以， ，

所以， ， ，

取，則，

所以，若是偶數(shù)，則；

若是奇數(shù)，則，

所以，

所以是公差為1的等差數(shù)列.