若函數(shù)f(x)滿足:對于任意x1,x2>0,都有f(x1)>0,f(x2)>0且f(x1)+f(x2)<f(x1+x2)成立,則稱函數(shù)f(x)具有性質M.給出下列四個函數(shù):①y=x3,②y=log2(x+1),③y=2x-1,④y=sinx.其中具有性質M的函數(shù)是 (注:把滿足題意所有函數(shù)的序號都填上)
【答案】
分析:根據(jù)題意依次分析命題:①②③通過做差比較f(x
1)+f(x
2)-f(x
1+x
2)大于還是小于零,得出結論;④當x>0時,根據(jù)函數(shù)y=sinx的值域是[-1,1],得出結論即可.
解答:解:①函數(shù)y=x
3,當x>0時,y>0
f(x
1)+f(x
2)-f(x
1+x
2)=x
13+x
23-(x
1+x
2)
3=-3x
12x
2-3x
22x
1<0∴f(x
1)+f(x
2)<f(x
1+x
2) 故①具有性質M的函數(shù);
②當x
1,x
2>0時,y=log
2(x+1)>0
f(x
1)+f(x
2)-f(x
1+x
2)=log
2∵x
1,x
2>0
∴f(x
1)+f(x
2)-f(x
1+x
2)=log
2>0
即f(x
1)+f(x
2)>f(x
1+x
2)
故②不具有性質M的函數(shù);
③當x>0時,y=2
x-1的值域(0,+∞)
f(x
1)+f(x
2)-f(x
1+x
2)=2
x1-1+2
x2-1-2
x1+x2+1>0 故③具有性質M的函數(shù);
④當x>0時,函數(shù)y=sinx的值域是[-1,1],故不具有M的性質.
可通過作差比較得到結論.
故答案為①③.
點評:本題考查了對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調性以及值域,對于比較兩數(shù)大小一般采取做差比較的方法.屬于基礎題.