Question

已知

AB

=(2，2，1)，

AC

=(4，5，3)，則平面ABC的單位法向量為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)平面ABC的單位法向量為

a

=（x，y，z），根據(jù)垂直的兩個(gè)向量數(shù)量積為0，可建立關(guān)于x、y、z的兩個(gè)方程．再結(jié)合單位向量模的公式，得到第三個(gè)方程，最后聯(lián)解可得這個(gè)單位法向量的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)平面ABC的單位法向量為

a

=（x，y，z）
∵

a

⊥

AB

，∴

a

•

AB

=2x+2y+z=0…①
同理，

a

•

AC

=4x+5y+3z=0…②
因?yàn)?span id="frmvlw0" class="MathJye">

a

是單位向量，所以

|a|

=

x2+y2+z2

=1…③
聯(lián)解①②③，得x=

1

3

，y=-

2

3

，z=

2

3

或x=-

1

3

，y=

2

3

，z=-

2

3

∴

a

=（

1

3

，-

2

3

，

2

3

）或

a

=（-

1

3

，

2

3

，-

2

3

）
故答案為：（

1

3

，-

2

3

，

2

3

）或（-

1

3

，

2

3

，-

2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面內(nèi)兩個(gè)已知向量的坐標(biāo)，要我們求該平面的單位法向量坐標(biāo)，著重考查了空間兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．