Question

設(shè)向量

a

=（0，2），

b

=（1，0），過定點A（0，-2），以

a

+λ

b

方向向量的直線與經(jīng)過點B（0，2），以向量

b

-2λ

a

為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R，
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過E（1，0）的直線l與C交于兩個不同點M、N，求

EM

•

EN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），求得過定點A（0，-2），以

a

+λ

b

方向向量的直線方程，以及過定點B（0，2），以

b

-2λ

a

方向向量的直線方程，消去λ即得點P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）用點斜式設(shè)直線l的方程，代入曲線C的方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，判別式大于零，代入

EM

•

EN

 的式子化簡，求得

EM

•

EN

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），∵

a

=（0，2），

b

=（1，0），∴

a

+λ

b

=（λ，2），

b

-2λ

a

=（1，-4λ），
過定點A（0，-2），以

a

+λ

b

方向向量的直線方程為：2x-λy-2λ=0，
過定點B（0，2），以

b

-2λ

a

方向向量的直線方程為：4λx+y-2=0，
聯(lián)立消去λ得：8x²+y²=4∴求點P的軌跡C的方程為8x²+y²=4．
（Ⅱ）當過E（1，0）的直線l與x軸垂直時，l與曲線C無交點，不合題意，
∴設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1），l與曲線C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=k(x-1) 8x2+y2=4

?（k²+8）x²-2k²x+k²-4=0，則

△=4k4-4(k2+8)(k2-4)＞0?0≤k2＜8 x1+x2= 2k2 k2+8 ，x1x2= k2-4 k2+8

，
又

EM

=（x₁-1，y₁），

EN

=（x₂-1，y₂），
∴

EM

•

EN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（1+k²）（x₁+x₂）+1+k²
=（1+k²）（

k2-4

k2+8

-

2k2

k2+8

+1）
=

4(k2+1)

k2+8

=4-

28

k2+8

，
∵0≤k²＜8，∴

EM

•

EN

的取值范圍是[

1

2

，

9

4

）．

點評：本題考查求點的軌跡方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個向量的數(shù)量積公式，化簡

EM

•

EN

是解題的難點．