Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，，D、M、N分別是AB、AA₁、BC₁的中點．
（1）求證：MN∥平面ABC；
（2）求證：CD⊥平面AA₁B₁B；
（3）試在BB₁上求一點F，使A₁B⊥平面C₁DF，證明你的結(jié)論．

Answer 1

證明：（1）取BC中點G，連NG、AG，
∵N是BC₁的中點，G是BC的中點，
∴NG∥CC₁，且NG=；又M是AA₁的中點，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴MA∥CC₁，且MA=．
∴MA∥NG且MA=NG，
∴MAGN是平行四邊形，
∴MN∥AG．…（3分）
又AG?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ABC． …（5分）
（2）∵AC=BC=1，D是的中點，∴CD⊥AB．又ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴平面AA₁B₁B⊥平面ABC，
∵CD?平面ABC，平面AA₁B₁B∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面AA₁B₁B．…（9分）
（3）作DE⊥A₁B交A₁B于E，延長DE交B₁B于F，連接CF，不難證明A₁B⊥平面C₁DF，點F即為所求．…（12分）
事實上，∵CD⊥平面AA₁B₁B，A₁B?平面AA₁B₁B，
∴A₁B⊥CD，
又A₁B⊥DF，CD∩DF=D，
∴A₁B⊥平面C₁DF．…（14分）
分析：（1）要證MN∥平面ABC，只需要證明MN平行于平面ABC內(nèi)的一條直線．取BC中點G，連NG、AG，可證MAGN是平行四邊形，從而MN∥AG；
（2）要證CD⊥平面AA₁B₁B，利用線面垂直的判定定理，借助于平面AA₁B₁B⊥平面ABC
可證；
（3）作DE⊥A₁B交A₁B于E，延長DE交B₁B于F，連接CF，證明A₁B⊥平面C₁DF，點F即為所求．
點評：本題以直三棱柱為載體，考查線面平行，線面垂直，解題的關(guān)鍵是正確利用線面平行，線面垂直的判定定理．