已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點F1的坐標為（-1，0），已知橢圓E上的一點到F1、F2兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過橢圓E的右焦點F2作一條傾斜角為
π
4
的直線交橢圓于C、D，求△CDF1的面積；
（Ⅲ）設(shè)點P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點M、N，求證∠MBP為銳角．
（Ⅰ）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，∴c2=1，b2=3
故橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1，…（3分）
（Ⅱ）由已知得直線CD方程為y=x-1，將直線方程帶入橢圓方程得：7x2-8x-8=0…（4分）
設(shè)點C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1+x2=
8
7
，x1x2=-
8
7
…（5分）
則|CD|=
1+12
(x1+x2)2-4x1x2
=
2
•
(
8
7
)2+4•
8
7
…（7分）
點F1到直線CD的距離是d=
|-1-1|
2
=
2
…（8分）
所以S△CDF1=
1
2
|CD|d=
12
7
2
…（9分）
（Ⅲ）A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)M（x0，y0），則-2＜x0＜2
因為點M在橢圓上，所以
y20
=
3
4
(4-
x20
)…（10分）
因為P、A、M三點共線，所以kPA=kMA⇒
t
6
=
y0
x0+2
⇒t=
6y0
x0+2
…（11分）
所以
BM
=(x0-2，y0)，
BP
=(2，
6y0
x0+2
)
所以
BM
•
BP
=
5
2
（2-x0）＞0…（13分）
所以∠MBP為銳角…（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=4x的焦點所作直線中，被拋物線截得弦長為8的直線有（　　）
A．1條B．2條C．3條D．不確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1有相同焦點，且經(jīng)過點(
15
，4)，則雙曲線的方程為（　�。�
A．
x2
4
-
y2
5
=1		B．
y2
5
-
x2
4
=1		C．
y2
4
-
x2
5
=1		D．
x2
5
-
y2
4
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其中a2=4c，直線l：3x-2y=0與橢圓的交點在x軸上的射影恰為橢圓的焦點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓在x軸上方的一個交點為P，F(xiàn)是橢圓的右焦點，試探究以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別是F1（-c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足|
F1Q
|=2a．點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足
PT
•
TF2
=0，|
TF2
|≠0．
（1）求證：|PQ|=|PF2|；
（2）求點T的軌跡C的方程；
（3）若橢圓的離心率e=
3
2
，試判斷軌跡C上是否存在點M，使△F1MF2的面積S=b2，若存在，請求出∠F1MF2的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點M是曲線C上任一點，點M到點F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（0，2）的直線L交曲線C于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

AB是過拋物線x2=y的焦點一條弦，若AB的中點到x軸的距離為1，則弦AB的長度為（　　）
A．
5
2
B．
5
4
C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N（M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C2的方程；
（Ⅱ）以F1為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）2+y2=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1，l2，它們分別與圓M，N相交，且直線l1被圓M截得的弦長與直線l2被圓N截得的弦長的比為
3
：1，試求所有滿足條件的點P的坐標．

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