Question

橢圓E的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=,過(guò)點(diǎn)C(-1,0)的直線(xiàn)l交橢圓于A(yíng)、B兩點(diǎn),且滿(mǎn)足(λ≥2).

(1)若λ為常數(shù),試用直線(xiàn)l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積;

(2)若λ為常數(shù),當(dāng)△OAB的面積取得最大值時(shí),求橢圓E的方程;

(3)若λ變化,且λ=k²+1,試問(wèn):實(shí)數(shù)λ和直線(xiàn)l的斜率k(k∈R)分別為何值時(shí),橢圓E的短半軸長(zhǎng)取得最大值？并求出此時(shí)的橢圓方程.

Answer 1

解:設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),

由e=及a²=b²+c²得a²=3b²,

故橢圓方程為x²+3y²=3b².                                            ① 

(1)∵直線(xiàn)l:y=k(x+1)交橢圓于A(yíng)(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點(diǎn),

并且,

∴(x₁+1,y₁)=2(-1-x₂,-y₂),

即                                             ②

把y=k(x+1)代入橢圓方程,得(3k²+1)x²+6k²x+3k²-3b²=0,且k²(3b²-1)+b²＞0,              

∴x₁+x₂=-,                                                  ③

x₁x₂=.                                                   ④ 

∴S_△OAB=|y₁-y₂|=

聯(lián)立②③得x₂+1=-,

∴S_△OAB=(k≠0).                                               

(2)S_△OAB=≤(λ≥2).

當(dāng)且僅當(dāng)3|k|=,即k=±時(shí),S_△OAB取得最大值,此時(shí)x₁+x₂=-1.

又∵x₁+1=-λ(x₂+1),

∴x₁=,x₂=-.

代入④得3b²=.

故此時(shí)橢圓的方程為x²+3y²=(λ≥2).                                  

(3)由②③聯(lián)立得x₁=,

將x₁,x₂代入④,得3b²=+1.

由k²=λ-1得3b²=+1=.

易知,當(dāng)λ≥2時(shí),3b²是λ的減函數(shù),

故當(dāng)λ=2時(shí),3b²取得最大值5.                                              

所以,當(dāng)λ=2,k=±1時(shí),橢圓短半軸長(zhǎng)取得最大值,

此時(shí)橢圓方程為x²+3y²=5.