Question

【題目】設等差數列{an}的前n項和為Sn ， 且S5=a5+a6=25．
（1）求{an}的通項公式；
（2）若不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）對所有的正整數n都成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5=a5+a6=25，

∴ ，

解得a1=﹣1，d=3，

∴{an}的通項公式an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4．

（2）解：∵a1=﹣1，d=3，

∴ = ．

∵不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）對所有的正整數n都成立，

∴3n2+3n+27＞（﹣1）nk3n，

∴（﹣1）nk＜n+ +1對所有的正整數n都成立，

當n為偶數時，k＜n+ +1，

設F（n）=n+ +1，

F（n）min=F（4）=4+ = ．

∴k＜ ．

當n為奇數時，﹣k＜n+ +1，k＞﹣（n+ +1），

﹣（n+ +1）≤﹣2 ﹣1=﹣7，

當且僅當n= ，即n=3時，取等號，

∴實數k的取值范圍是（﹣7， ）．

【解析】（1）利用等差數列通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出{an}的通項公式．（2）求出Sn，從而3n2+3n+27＞（﹣1）nk3n，由此能求出實數k的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．