Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，b₁=0且
（Ⅰ）求λ的值，使得數(shù)列{a_n+λb_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）令數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n和S'_n，求極限的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令c_n=a_n+λb_n，其中λ為常數(shù)，通過{c_n}為等比數(shù)列，則存在q≠0使得c_n+1=a_n+1+λb_n+1=q（a_n+λb_n）．
推出（2+λ-q）a_n+（3+2λ-λq）b_n=0，n=1，2，3，然后列出方程組消去q解得．然后驗證當時，數(shù)列為等比數(shù)列．即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）直接求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）令數(shù)列{d_n}的通項公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前n項和為P_n；令數(shù)列{e_n}的通項公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前n項和為P'_n．求出，由于，則，于是，通過，然后求解．
解答：解：滿分（12分）．
（Ⅰ）令c_n=a_n+λb_n，其中λ為常數(shù)，若{c_n}為等比數(shù)列，則存在q≠0使得c_n+1=a_n+1+λb_n+1=q（a_n+λb_n）．
又a_n+1+λb_n+1=2a_n+3b_n+λ（a_n+2b_n）=（2+λ）a_n+（3+2λ）b_n．
所以q（a_n+λb_n）=（2+λ）a_n+（3+2λ）b_n．
由此得（2+λ-q）a_n+（3+2λ-λq）b_n=0，n=1，2，3，（2分）
由a₁=1，b₁=0及已知遞推式可求得a₂=2，b₂=1，把它們代入上式后得方程組消去q解得．    （4分）
下面驗證當時，數(shù)列為等比數(shù)列．（n=1，2，3，…），，從而是公比為的等比數(shù)列．
同理可知是公比為的等比數(shù)列，于是為所求．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結(jié)果得，，解得，．（9分）
（Ⅲ）令數(shù)列{d_n}的通項公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前n項和為P_n；
令數(shù)列{e_n}的通項公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前n項和為P'_n．
由第（Ⅱ）問得，．．
由于數(shù)列{e_n}的公比，則．，
由于，則，
于是，所以（12分）
點評：本小題主要考查數(shù)列的概念與性質(zhì)，等比數(shù)列的證明，待定系數(shù)法，數(shù)列求和與數(shù)列極限，考查思維能力、運算能力和綜合解題的能力．