Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，直線l：x=-

1

2

將線段F₁F₂分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1：3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 是否存在點(diǎn)M，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F₂，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)F₂（c，0），由直線l：x=-

1

2

將線段F₁F₂分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1：3，解得c=1．再由離心率為e=

2

2

，求出a=

2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，不合題意．當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)M（-

1

2

，m），m≠0，設(shè)直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，得(x1+x2)+2(y1+y2)•

y1-y2

x1-x2

=0，推導(dǎo)出k=

1

4m

，直線PQ的斜率為k₁=-4m，由此能推導(dǎo)出存在兩點(diǎn)M符合條件，坐標(biāo)為M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F₂（c，0），
∵直線l：x=-

1

2

將線段F₁F₂分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1：3，
∴

c- 1 2

c+ 1 2

=

1

3

，解得c=1．
∵離心率為e=

2

2

，∴a=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB的方程為x=-

1

2

，
此時(shí)P（-

2

，0），Q（

2

，0），

F2P

•

F2Q

=-1，不合題意．
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)M（-

1

2

，m），m≠0，
設(shè)直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，得(x1+x2)+2(y1+y2)•

y1-y2

x1-x2

=0，
則-1+4mk=0，故k=

1

4m

，
此時(shí)，直線PQ的斜率為k₁=-4m，
PQ的直線方程為y-m=-4m（x+

1

2

），即y=-4mx-m．
聯(lián)立

y=-4mx-m x2 2 +y2=1

，消去y，整理，得（32m²+1）x²+16m²x+2m²-2=0．
∴x1+x2=-

16m2

32m2+1

，x₁x₂=

2m2-2

32m2+1

，
由題意

F2P

•

F2Q

=0，
∴

F2P

•

F2Q

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+（4mx₁+m）（4mx₂+m）
=（1+16m²）x₁x₂+（4m²-1）（x₁+x₂）+1+m²
=

(1+16m2)(2m2-2)

32m2+1

+

(4m2-1)(-16m2)

32m2+1

+1+m²
=

19m2-1

32m2+1

=0，
∴m=±

19

19

．
∵M(jìn)在橢圓內(nèi)，∴m2＜

7

8

，
∴m=±

19

19

符合條件．
綜上所述，存在兩點(diǎn)M符合條件，坐標(biāo)為M（-

1

2

，-

19

19

）和M（-

1

2

，

19

19

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．