Question

（2013•房山區(qū)一模）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．
某城市環(huán)保局從該市市區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）．
（Ⅰ）從這15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天數(shù)據(jù)，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；
（Ⅱ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）根據(jù)這15天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）從15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，共有C

3 15

種情況，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，共有

C

1 4

C

2 11

種情況，由此可求概率；
（Ⅱ）ξ服從超幾何分布：其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，故可得其分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為P=

10

15

=

2

3

，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)η～B（360，

2

3

），求出期望，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）從莖葉圖可知，空氣質(zhì)量為一級(jí)的有4天，為二級(jí)的有6天，超標(biāo)的有5天
記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出三天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A
則P(A)=

C 1 4 • C 2 11

C 3 15

=

44

91

…（3分）
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2，3，…（4分）
P(ξ=0)=

C 0 5 C 3 10

C 3 15

=

24

91

，
P(ξ=1)=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

，
P(ξ=2)=

C 2 5 C 1 10

C 3 15

=

20

91

，
P(ξ=3)=

C 3 5 C 0 10

C 3 15

=

2

91

，…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	24 91	45 91	20 91	2 91

…（9分）
Eξ=

24

91

×0+

45

91

×1+

20

91

×2+

3

91

×3=1…（10分）
（Ⅲ）15天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的頻率為

10

15

=

2

3

…（11分）
365×

2

3

=243

1

3

，
所以估計(jì)一年中有243

1

3

天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)．…（13分）
（說(shuō)明：答243天，244天不扣分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題．