Question

注：此題選A題考生做①②小題，選B題考生做①③小題．
已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時有f（x）=

4x

x+4

．
①求f（x）的解析式；
②（選A題考生做）求f（x）的值域；
③（選B題考生做）若f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)的奇偶性的對稱性，先求出函數(shù)的解析式，
②然后利用分式函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域，
③根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關系，將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，然后解不等式即可．

解答：解：①∵當x≥0時有f(x)=

4x

x+4

，
∴當x≤0時，-x≥0，
∴f(-x)=

-4x

-x+4

=

4x

x-4

=-f(x)，
∴f(x)=-

4x

x-4

（x≤0）
∴

f(x)= 4x x+4 (x≥0) 4x 4-x (x≤0)

．
②∵當x≥0時有f(x)=

4x

x+4

=4-

16

x+4

，
∴0≤f（x）＜4，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴當x≤0時-4＜f（x）≤0
∴f（x）∈（-4，4）．
③∵當x≥0時有f(x)=

4x

x+4

=4-

16

x+4

，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）是在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（2m+1）+f（m²-2m-4）＞0，
∴f（2m+1）＞-f（m²-2m-4）=f[-（m²-2m-4）]，
∴2m+1＞-（m²-2m-4），
即m²＞3，
∴m＜-

3

或m＞

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用，利用條件求出函數(shù)的表達式，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關系將不等式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．