Question

下列四個關于函數(shù)f（x）命題：①如果函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則方程f（x）=0一定有解；②如果函數(shù)f（x）是減函數(shù)，則方程f（x）=0至多有一個解；③如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則方程f（x）=0一定有偶數(shù)個解；④如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且方程f（x）=1有解，則方程f（x）=-1也有解；其中正確的命題是：    ．

Answer 1

【答案】分析：①可舉反例，說明不正確
②結合減函數(shù)圖象特征，進行判斷
③結合偶函數(shù)的定義，進行判斷
④結合奇函數(shù)的定義，進行判斷
解答：解：①如果函數(shù)f（x）是增函數(shù)，其圖象上升，但未必與x軸相交，即方程f（x）=0不一定有解，比如：函數(shù)y=x，（x＞0）．①不正確
      ②如果函數(shù)f（x）是減函數(shù)，其圖象下降，與x軸至多相交于一點，不會多于兩點，否則與單調性矛盾．②正確
      ③如果函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且x（≠0）是方程f（x）=0的解，即f（x）=0，則f（-x）=f（x）=0，∴-x也是方程f（x）=0的解，
        特殊的若還有f（0）=0，則方程f（x）=0有奇數(shù)個解  ③不正確；
     ④如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且方程f（x）=1有解，不妨設x=x，則f（-x）=-f（x）=-1，∴方程f（x）=-1也有解-x．④正確
     故答案為：②④．
點評：本題考查函數(shù)單調性，奇偶性，及其圖象的特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法．