Question

若實數(shù)x，y滿足不等式組

3x-y≤3 x-y≥-1 x≥0 y≥0

，且目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為5，則

2

a

+

3

b

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過可行域內(nèi)的點（2，3）時取得最大值，從而得到一個關(guān)于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當(dāng)直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線x-y+1=0與直線3x-y-3=0的交點（2，3）時，
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大5，
即2a+3b=5，
而

2

a

+

3

b

=(

2

a

+

3

b

)

2a+3b

5

=

13

5

+

6

5

(

b

a

+

a

b

)≥

13

5

+

12

5

=

25

5

=5．
故答案為：5．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．本題要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值．