分析:(1)欲求在
x=處的切線方程,只須求出其斜率的值即可,故先利用導(dǎo)數(shù)求出在
x=處的導(dǎo)函數(shù)值,再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.
(2)研究函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性,從而求出函數(shù)的最值;
(3)根據(jù)函數(shù)
f(x)=在(e,+∞)上為減函數(shù),則
>,化簡變形可得所求.
解答:解:(1)∵f(x)定義域?yàn)椋?,+∞)
f(x)的導(dǎo)數(shù)為
f′(x)=∵
f()=-e,
又∵
k=f′()=2e2,
∴函數(shù)y=f(x)在
x=處的切線方程為:
y+e=2e2(x-),
即:y=2e
2x-3e
(2)∵當(dāng)x∈(0,e)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,e)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(e,+∞)上為減函數(shù);
∴
fmax(x)=f(e)=.
(3)∵2009,2010∈(e,+∞),且2009<2010,
又∵
f(x)=在(e,+∞)上為減函數(shù),
∴
>,
∴2010ln2009>2009ln2010,
∴l(xiāng)n2009
2010>ln2010
2009,
∴2009
2010>2010
2009 點(diǎn)評:本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,以及研究函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性證明不等式等綜合問題,屬于中檔題.