Question

已知等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a₄•a₇=15，a₃+a₈=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=

1

9an-1an

（n≥2），b₁=

1

3

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a₃+a₈=a₄+a₇，求得a₄+a₇的值，進(jìn)而利用a₄•a₇判斷出a₄，a₇為方程的兩根據(jù)，則a₄和a₇可求，進(jìn)而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得公差d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得．
（2）把（1）求得的a_n代入bn=

1

9an-1an

中求得b_n，進(jìn)而用裂項(xiàng)法求得數(shù)列的前n項(xiàng)的和．

解答：解：（1）根據(jù)題意：a₃+a₈=8=a₄+a₇，a₄•a₇=15，知：a₄，a₇是方程x²-8x+15=0的兩根，且a₄＜a₇
解得a₄=3，a₇=5，設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d
由a7=a4+(7-4)•d，得d=

2

3

．
故等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：an=a4+(n-4)•d=3+(n-4)•

2

3

=

2n+1

3

（2）bn=

1

9an-1an

=

1

9( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
又b1=

1

3

=

1

2

(1-

1

3

)
∴Sn=b1+b2++bn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

++

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的確定和數(shù)列的求和．應(yīng)熟練掌握諸如公式法，錯(cuò)位想減法，裂項(xiàng)法，疊加法等常用的數(shù)列求和的方法．