已知二次函數(shù)f（x）=x2-2（m-1）x+m2-2m-3，其中m為實數(shù)．
（1）求證：不論m取何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）設(shè)這個二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0）、B（x2，0），且x1、x2的倒數(shù)和為
23
，求這個二次函數(shù)的解析式．
分析：（1）寫出與這個二次函數(shù)相對應(yīng)的一元二次方程是x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0，根據(jù)＞0，得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點．
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，確定x1+x2=2（m-1），x1•x2=m2-2m-3，把要求的代數(shù)式整理成只含有兩個根之和與之積的形式，代入含有m的代數(shù)式，解關(guān)于m的方程即可．
解答：（1）證明：與這個二次函數(shù)相對應(yīng)的一元二次方程是x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0，
△=4（m-1）2-4（m2-2m-3）=16＞0，
所以，方程x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0必有兩個不相等的實數(shù)根，
所以，不論m取何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點．（6分）
（2）解：由題意，可知x1、x2是方程x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0的兩個實數(shù)根，
所以，x1+x2=2（m-1），x1•x2=m2-2m-3，
又
1
x1
+
1
x2
=
2
3
，即
x1+x2
x1•x2
=
2
3
，
所以，
2(m-1)
m2-2m-3
=
2
3
，解得m=0或m=5．
所以，所求二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3或y=x2-8x+12．（12分）
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，考查一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是掌握三個二次之間的關(guān)系，本題是一個中檔題目．
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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