Question

過橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)(-1，

2

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左、右頂點(diǎn)A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為以F₁F₂為直徑的圓上異于F₁，F(xiàn)₂的動點(diǎn)，問

AP

•

BP

是否為定值，若是求出定值，不是說明理由？
（3）是否存在過點(diǎn)Q（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，使得|FD|=

1

2

|MN|（其中D為弦MN的中點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1，又a²=b²+c²，聯(lián)立方程組解出即可；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±1），P為以F₁F₂為直徑的圓上的動點(diǎn)，所以

F1P

⊥

F2P

，即

F1P

•

F2P

=0，利用向量數(shù)量積運(yùn)算可得x02+y02=1，由此可算出

AP

•

BP

的值；
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，則△＞0③，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由D為弦MN的中點(diǎn)，且|FD|=

1

2

|MN|，得M⊥FN，即

FM

•

FN

=0，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理可表示為k的方程，解出k值，驗證是否滿足③式即可；

解答：解：（1）由題設(shè)知c=1，

1

a2

+

1

2b2

=1①，又a²=b²+c²，即a²=b²+1②，
聯(lián)立①②解得a²=2，b²=1，
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；
（2）由（1）知，A（-

2

，0），B（

2

，0），F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±1），則

F1P

=（x₀+1，y₀），

F2P

=（x₀-1，y₀），
因為P為以F₁F₂為直徑的圓上的動點(diǎn)，所以

F1P

⊥

F2P

，即

F1P

•

F2P

=0，
所以（x₀+1）（x₀-1）+y₀²=x02+y02-1=0，即x02+y02=1，
所以

AP

•

BP

=（x0+

2

，y₀）•（x0-

2

，y₀）═（x0+

2

）•（x0-

2

）+y₀²=x02+y02-2=1-2=-1．
故

AP

•

BP

是定值，為-1．
（3）假設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，則△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即k2＜

1

2

③，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

-8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-2

2k2+1

，
由D為弦MN的中點(diǎn)，且|FD|=

1

2

|MN|，得FM⊥FN，即

FM

•

FN

=0，
所以（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）•（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=0，
所以（k²+1）•

8k2-2

2k2+1

+（2k²+1）•

-8k2

2k2+1

+4k²+1=0，
解得k2=

1

2

，不滿足③式，
故不存在這樣的直線l．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及橢圓方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．