Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

2

2

，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓E兩焦點(diǎn)的距離之和為4

2

．
（I）求橢圓E的方程；
（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

？若存在，求出該圓的方程；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)離心率為e=

2

2

，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓E兩焦點(diǎn)的距離之和為4

2

，求出幾何量，從而可求橢圓E的方程；
（II）先假設(shè)存在，設(shè)該圓的切線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及

OA

⊥

OB

，可確定m的范圍及所求的圓的方程，驗(yàn)證當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，結(jié)論也成立．

解答：解：（I）依題意知，2a=4

2

，∴a=2

2

．----------（1分）
∵e=

c

a

=

2

2

，∴c=2，b=

a2-c2

=2．---------------（3分）
∴所求橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．----------（4分）
（II）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

，
設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m----------（5分）
代入橢圓方程，消去y可得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，----------------（6分）
則△=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，-------------------（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，-------------------（9分）
所以3m²-8k²-8=0，所以k2=

3m2-8

8

≥0-------------------（10分）
又8k²-m²+4＞0，所以

m2＞2 3m2≥8

，∴m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
因?yàn)橹本�y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，
即：r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，∴r=

2 6

3

，∴所求的圓的方程為：x2+y2=

8

3

，-------------（12分）
而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個(gè)交點(diǎn)為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或(-

2 6

3

，±

2 6

3

)滿足

OA

⊥

OB

．-----------------（13分）
綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且

OA

⊥

OB

．----------------（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查 直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．