Question

在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，∠， ，平面⊥平面.

（1）求證：⊥平面；
（2）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；
（3）在棱上是否存在點使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）因為 ，所以.因為 平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（Ⅱ） ；（Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時.

試題分析：（Ⅰ）證明：因為 ，
所以 .                        ………………………………………1分
因為 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面.                  ………………………………………3分
（Ⅱ）解：取的中點，連接.
因為，
所以 .
因為 平面平面，平面平面，平面，
所以 平面.                ………………………………………4分
如圖，

以為原點，所在的直線為軸，在平面內過垂直于的直
線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標系．不妨設.由
直角梯形中可得，，
.
所以 ，.
設平面的法向量.
因為
所以
即
令，則.
所以 .                 ………………………………………7分
取平面的一個法向量n.
所以 .
所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為.
………………………………………9分
（Ⅲ）解：在棱上存在點使得∥平面，此時. 理由如下：…………10分
取的中點，連接，，.
則 ∥，.

因為 ，
所以 .
因為 ∥，
所以 四邊形是平行四邊形.
所以 ∥.
因為 ，
所以 平面∥平面.           ………………………………………13分
因為 平面，
所以 ∥平面.               ………………………………………14分
點評：本題主要考查線面關系的判定及二面角的求法，考查空間想象能力與邏輯思維能力，對于立體幾何問題的證明問題，要求我們熟練應用課本上的定理、性質、結論等，要求會用幾何法和向量法兩種方法求解