Question

求答下列三小題：
（1）在棱長為1的正方體上，分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方形，
則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是多少？
（2）圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是16

2

π，求圓錐的體積．
（3）一簡單組合體的三視圖及尺寸如圖所示（單位：cm），求該組合體的表面積．

Answer 1

分析：（1）分別利用錐體體積公式計(jì)算出正方體和截去的三棱錐的體積，作差即可．注意截去的三棱錐在頂點(diǎn)處，三側(cè)棱兩兩垂直．
（2）設(shè)底面半徑為r，母線為l，由軸截面是等腰直角三角形，得出2r=

2

l，代入S_側(cè)=πrl，求出r，l再計(jì)算體積．
（3）由三視圖分別確定個(gè)側(cè)面的形狀和數(shù)據(jù)，分別計(jì)算，再相加．

解答：解：（1）V′=

1

3

×(

1

2

)3×

1

2

=

1

48

V=1³-8V′=1-

1

6

=

5

6

（2）設(shè)底面半徑為r，母線為l，則2r=

2

l，
∴側(cè)面積S_側(cè)=πrl=

2

πr²=16

2

π，解得
r=4，l=4

2

，高h(yuǎn)=4
∴圓錐的體積V=

1

3

Sh=

1

3

πr2h=

1

3

π×16×4=

64

3

π
（3）由三視圖可知，該幾何體的上面、左面均為邊長1的正方形，兩者面積均為1，
前后面為直角梯形，面積均為

(1+2)×1

2

=

3

2

     
下面為長方形，面積為2×1=2，
右面為長方形，面積

2

×1=

2

  
所以表面積為：2×1+2×

3

2

+2+

2

=7+

2

．

點(diǎn)評：本題考查幾何體體積、表面積公式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．