將函數(shù)y=f（x）=
1
2
（sinx+cosx）2-
3
2
的圖象按向量
a
=（
π
4
，1）平移得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）已知A（-1，2），B（1，2）．問在函數(shù)y=g（x）的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得
AP
•
BP
=
5
4
？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）化簡(jiǎn)得，f（x）=
1
2
sin2x-1，利用向量的平移可求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得
AP
•
BP
=x2+(
1
2
cos2x+2)2-1，分別對(duì)x2≥0，(
1
2
cos2x+2)2≥
9
4
的等號(hào)成立的討論，即可判斷y=g（x）的圖象上，使得
AP
•
BP
=
5
4
的點(diǎn)P是否存在．
解答：解：（1）f（x）=
1
2
（1+sin2x）-
3
2
=
1
2
sin2x-1，
∵
a
=（
π
4
，1），
∴g（x）=
1
2
sin2（x-
π
4
）=-
1
2
cos2x…4分
（2）設(shè)P（x，-
1
2
cos2x），
則
AP
=（x+1，-
1
2
cos2x-2），
BP
=（x-1，-
1
2
cos2x-2）…6分
∴
AP
•
BP
=（x2-1）+(
1
2
cos2x+2)2=x2+(
1
2
cos2x+2)2-1…8分
∵x2≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取得，
(
1
2
cos2x+2)2≥
9
4
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)cos2x=-1，即x=kπ-
π
2
（k∈Z）時(shí)取得，
∴x2+(
1
2
cos2x+2)2＞
9
4
．
∴
AP
•
BP
＞
5
4
．
故在函數(shù)y=g（x）的圖象上，使得
AP
•
BP
=
5
4
的點(diǎn)P不存在…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查綜合分析與推理運(yùn)算的能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(2sinx，2cosx)，
n
=(
3
cosx，cosx)，f(x)=
m
•
n
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來的
1
2
，把所得到的圖象再向左平移
π
6
單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[0，
π
8
]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：向量
a
=(2cos
x
4
，2sin
x
4
)，
b
=(sin
x
4
，-
3
sin
x
4
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+
3

（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及最值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，再向左平移
2
3
π得到函數(shù)y=g（x），判斷函數(shù)y=g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

要得到函數(shù)y=f（x-2）+1的圖象，只需將函數(shù)y=f（x）的圖象（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)y=φ（x）的圖象，試寫出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2sinωx•cosωx+2
3
cos2ωx-
3
（其中ω＞0）的周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移
π
4
個(gè)單位長度，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的
1
2
（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）在[-
π
6
，
π
24
]上的單調(diào)區(qū)間．

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