Question

空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別為BC、CD上的點(diǎn)，且CG=

1

3

CB，CH=

1

3

CD
求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）三直線FH、EG、AC共點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理、平行線分線段成比例的判定定理及共面的判定定理即可證明；
（2）利用分別位于兩個(gè)相交平面的相交直線必相交于兩個(gè)相交平面的交線上．

解答：解：（1）如圖所示，
∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD；
∵G、H分別為BC、CD上的點(diǎn)，且CG=

1

3

CB，CH=

1

3

CD，∴

CG

CB

=

CH

CD

，
∴GH∥BD．
∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）由（1）可知：EF=

1

2

BD，GH=

1

3

BD，∴EF≠GH，因此EG與FH必相交，
設(shè)EG∩FH=P，∵EG?平面ABC，F(xiàn)H?平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，
∴P∈AC，即三直線FH、EG、AC共點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形中位線定理、平行線分線段成比例的判定定理及共面的判定定理是解題的關(guān)鍵．