Question

理科已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且，則存在，使得.試用這個(gè)結(jié)論證明：若，函數(shù)，則對(duì)任意，都有；（Ⅲ）已知正數(shù)滿足求證：當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意大于，且互不相等的實(shí)數(shù),都有

Answer 1

（Ⅰ）m=-1；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式；（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時(shí).
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故.  3分
（Ⅱ）令，  4分
則.函數(shù)在上可導(dǎo)，存在，使得.又
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，；
故對(duì)任意，都有.  8分
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明.
①當(dāng)時(shí)，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.  9分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)時(shí)，
. 當(dāng)時(shí)，設(shè)正數(shù)滿足令，
 
則，且.

   13分
當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.
綜上由①②，對(duì)任意，，結(jié)論恒成立.  14分
點(diǎn)評(píng)：近幾年新課標(biāo)高考對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)這一綜合問(wèn)題的命制，一般以有理函數(shù)與半超越（指數(shù)、對(duì)數(shù)）函數(shù)的組合復(fù)合且含有參量的函數(shù)為背景載體，解題時(shí)要注意對(duì)數(shù)式對(duì)函數(shù)定義域的隱蔽，這類(lèi)問(wèn)題重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、不等式方程的求解等基本知識(shí)，注重?cái)?shù)學(xué)思想（分類(lèi)與整合、數(shù)與形的結(jié)合）方法（分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）的運(yùn)用.把數(shù)學(xué)運(yùn)算的“力量”與數(shù)學(xué)思維的“技巧”完美結(jié)合.