若直線l與圓⊙O：x2+y2=9，交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB是等邊三角形，則x1x2+y1y2=________．


分析：由△AOB是等邊三角形，可得AO=BO=AB=3，故考慮直線了l的斜率存在情況：分別就k存在與不存在兩種情況討論：當直線的斜率不存在時容易求解當直線的斜率存在時，可設直線的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程可得（1+k2）x2+2kbx+b2-9=0，由已知可得O到直線的距離，利用點到直線的距離可得b，k的關系，然后根據(jù)方程根與系數(shù)的關系代入求解，可得答案．
解答：由△AOB是等邊三角形，可得AO=BO=AB=3
當直線的斜率不存在時可得滿足條件的直線 L：y=±，此時x1x2+y1y2=
當直線的斜率存在時，可設直線的方程為：y=kx+b
聯(lián)立方程可得（1+k2）x2+2kbx+b2-9=0
∴
由已知可得O到直線的距離，利用點到直線的距離可得
x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=
=
故答案為：
點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質，聯(lián)立直線方程與曲線方程是解決弦長問題常見的方法，而利用點到直線的距離公式可以簡化計算．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系xoy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為
6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）問是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點．若存在，寫出直線m的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）平面直角坐標系xoy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為
6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設M，P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xoy中，圓O的方程為x2+y2=1．
（1）若直線l與圓O切于第一象限且與坐標軸交于點A，B，當|AB|最小時，求直線l的方程；
（2）若A，B是圓O與x軸的交點，C是圓在直徑AB的上方的任意一點，過該點作CD⊥AB交圓O于點D，當點C在圓O上移動時，求證：∠OCD的角平分線經(jīng)過圓O上的一個定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

平面直角坐標系xoy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為
6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）問是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點．若存在，寫出直線m的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江西省贛州市十一縣市高二（上）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

平面直角坐標系xoy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）問是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點．若存在，寫出直線m的方程；若不存在，說明理由．

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