Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1，(1≤x≤2) x-1，(2＜x≤3)

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a∈（0，1），記函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為h（a），則h（a）的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：先求出g（x），再分類求出函數(shù)的最大值與最小值，可得分段函數(shù)，即可求得h（a）的最小值．

解答：解：由題意，g（x）=f（x）-ax=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

∵1≤x≤2時(shí)，g（x）=1-ax，函數(shù)單調(diào)遞減，∴g（x）∈[1-2a，1-a]
2＜x≤3時(shí)，g（x）=（1-a）x-1，函數(shù)單調(diào)遞增，∴g（x）∈（1-2a，2-3a]
若1-a＜2-3a，即a＜

1

2

時(shí)，g（x）_max=2-3a；若1-a≥2-3a，即a≥

1

2

時(shí)，g（x）_max=1-a；
∴函數(shù)g（x）的最大值與最小值的差為h（a）=

1-a，0＜a＜ 1 2 a，1＞a≥ 1 2

∴

1

2

≤h(a)＜1
∴h（a）的最小值是

1

2

故答案為：

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．