Question

已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0．
（1）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的奇偶性；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若f(

1

5

)=

1

2

，求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)恒等式賦值，令x=y=0，即可求得f（0），再令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)x₁＜x₂，則作差f（x₂）-f（x₁），利用函數(shù)為奇函數(shù)和恒等式，即可得到f（x₂）-f（x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

），判斷符號(hào)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，即證得結(jié)論；
（3）利用函數(shù)為奇函數(shù)，則f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=f（

1

2

）+f（-

1

11

）+f（-

1

19

），利用恒等式化簡計(jì)算即可得f（

5

13

），又f（

1

5

）+f（

1

5

）=f（

5

13

），從而求得答案．

解答：解：（1）f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)，
證明如下：
∵f（x）滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴令x=y=0，則有f（0）+f（0）=f（0），
∴f（0）=0，
再令y=-x，則有f（x）+f（-x）=f（

x-x

1-x2

）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）為（-1，1）上的奇函數(shù)；
（2）f（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
證明如下：
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x）為奇函數(shù)且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

），
∵-1＜x₁＜x₂＜1，則x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜1，即1-x₁x₂＞0，
故

x2-x1

1-x1x2

＞0，
又∵當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＞0，
∴f（

x2-x1

1-x1x2

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=f（

1

2

）+f（-

1

11

）+f（-

1

19

）=f(

1 2 - 1 11

1- 1 2 × 1 11

)+f（-

1

19

）=f（

3

7

）+f（-

1

19

）=f(

3 7 - 1 19

1- 3 7 × 1 19

)=f（

5

13

），
又f（

1

5

）+f（

1

5

）=f(

1 5 + 1 5

1- 1 5 × 1 5

)=f（

5

13

）=

1

2

×2=1，
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用．對(duì)于抽象函數(shù)的求值問題一般選用賦值法進(jìn)行求解，奇偶性的判斷一般應(yīng)用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱然后判斷f（-x）與f（x）之間的關(guān)系．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號(hào)，下結(jié)論．本題的解題關(guān)鍵就是在于根據(jù)恒等式構(gòu)造所需要的表達(dá)式．屬于中檔題．