【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)求f(x)>0的解集;
(2)若x∈R時,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)(0,+∞)(2)[,+∞)
【解析】
(1)通過對f(x)求導,可得x∈R時,f′(x)≥0,所以f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,又f(0)=0,x∈(0,+∞)時f(x)>0,不等式得解;
(2)若x∈R時,恒成立,不等式轉(zhuǎn)化為2eex(x∈R),因為都是偶函數(shù),所以只需x∈[0,+∞)時,2ee2x﹣1≥0成立即可,構(gòu)造新的函數(shù)F(x)=2ee2x﹣1,求導后再對導函數(shù)進行分類討論,可得實數(shù)m的取值范圍.
(1)因為f(x)=,則f′(x)=;
所以x∈R時,f′(x)≥0,
所以f(x)在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增,又f(0)=0,
所以x∈(﹣∞,0)時,f(x)<0,
x∈(0,+∞)時f(x)>0,
∴f(x)>0的解集為(0,+∞).
(2)因為x∈R時,2ee2x+1恒成立,
等價于恒成立,
即2eex(x∈R),
因為都是偶函數(shù),
所以只需x∈[0,+∞)時,2ee2x﹣1≥0成立即可,
令F(x)=2ee2x﹣1,F(0)=0,
F′(x)=2(2mx+1)e2e2x=2e2x[(2mx+1)e1],F′(0)=0,
令G(x)=(2mx+1)e1,G(0)=0,
G′(x)=2me(2mx+1)(2mx﹣1)e(4m2x2+2m﹣1)e
①當2m﹣1≥0,即m時,G′(x)≥0,所以G(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,
又因為G(0)=0,所以x∈[0,+∞)時,G(x)≥0,即F′(x)≥0,
所以F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又因為F(0)=0,所以x∈[0,+∞)時,F(x)≥0,所以m時滿足要求;
②當m=0,x=1時,2e<e2+1,不成立,所以m≠0;
③當2m﹣1<0且m≠0時,即m且m≠0時,x∈上單調(diào)遞減,
又因為G(0)=0,所以x∈時,G(x)<0,即F′(x)<0,
所以F(x)在上單調(diào)遞減,
又因為F(0)=0,所以x∈時,F(x)<0,
所以m且m≠0時不滿足要求.
綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是[,+∞).
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【題目】在極坐標系中,曲線的方程為,以極點為原點,極軸所在直線為軸建立直角坐標,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于,兩點.
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)設(shè)點;若、、成等比數(shù)列,求的值
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【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分正品與次品,正品重100克,次品重110 克.現(xiàn)有5袋產(chǎn)品(每袋裝有10個產(chǎn)品),已知其中有且只有一袋次品(10個產(chǎn)品均為次品),如果將5袋產(chǎn)品以1-5編號,第袋取出個產(chǎn)品(=1,2,3,4,5),并將取出的產(chǎn)品一起用秤(可以稱出物體重量的工具)稱出其重量,若次品所在的袋子的編號是2,此時的重量=__________克;若次品所在袋子的編號是,此時的重量=_________克.
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【題目】設(shè)橢圓C:(a>b>0)的右焦點為F,橢圓C上的兩點A,B關(guān)于原點對稱,且滿足,|FB|≤|FA|≤2|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnxa,f′(x)是f(x)的導函數(shù),若關(guān)于x的方程f′(x)0有兩個不等的根,則實數(shù)a的取值范圍是_____
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【題目】已知橢圓的離心率為,左焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的中點關(guān)于直線的對稱點在圓上,求實數(shù)的值.
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【題目】已知數(shù)列滿足:對任意,都有.
(1)若,求的值;
(2)若是等比數(shù)列,求的通項公式;
(3)設(shè),,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,已知曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線交于不同的兩點、,求的值.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在,上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在處的切線平行于軸,是否存在整數(shù),使不等式在時恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.
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