Question

（2013•南通三模）過點P（-1，0）作曲線C：y=e^x的切線，切點為T₁，設T₁在x軸上的投影是點H₁，過點H₁再作曲線C的切線，切點為T₂，設T₂在x軸上的投影是點H₂，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）個切點T_n+1．則點T_n+1的坐標為

（n，eⁿ）

．

Answer 1

分析：設T₁（x₁，ex1），可得切線方程代入點P坐標，可解得x₁=0，即T₁（0，1），可得H₁（0，0），在寫切線方程代入點H₁（0，0），可得T₂（1，e），H₂（1，0），…
由此可得推得規(guī)律，從而可得結論．

解答：解：設T₁（x₁，ex1），此處的導數(shù)值為ex1，
故切線方程為y-ex1=ex1（x-x₁），代入點P（-1，0）
可得0-ex1=ex1（-1-x₁），解得x₁=0，即T₁（0，1），H₁（0，0），
同理可得過點H₁再作曲線C的切線方程為y-ex2=ex2（x-x₂），代入點H₁（0，0），
可得0-ex2=ex2（0-x₂），可解得x₂=1，故T₂（1，e），H₂（1，0），
…
依次下去，可得T_n+1的坐標為（n，eⁿ）
故答案為：（n，eⁿ）

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線的方程，歸納推理是解決問題的關鍵，屬中檔題．