Question

如圖所示，四面體ABCD被一平面所截，截面與四條棱AB、AC、CD、BD相交于E、F、G、H四點(diǎn)，且截面EFGH是一個(gè)平行四邊形.

求證：棱BC∥平面EFGH，AD∥平面EFGH.

Answer 1

思路解析：依據(jù)判定定理，在平面EFGH內(nèi)尋找與BC、AD平行的直線，利用線面平行的性質(zhì)即得.

證明：因?yàn)榻孛?I >EFGH是一個(gè)平行四邊形，所以EF∥GH.

又因?yàn)?I >GH在平面DCB內(nèi)，EF不在平面DCB內(nèi)，所以EF∥平面DCB.

又平面ABC過直線EF且與平面DCB相交于BC.

所以EF∥BC，EF?面EFGH.

所以BC∥平面EFGH.

同理，可證AD∥平面EFGH.

方法歸納  反復(fù)運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，實(shí)現(xiàn)線面平行與線線平行的相互轉(zhuǎn)化，在同一道題中是常用的.

巧妙變式  若將本題中E、F、G、H特殊化，即E、F、G、H分別是AB、AC、DC、DB的中點(diǎn)，可由對(duì)應(yīng)線段成比例推證平行，轉(zhuǎn)化為利用三角形的中位線定理證直線平行，然后證明本題的結(jié)論成立.

證明：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EFBC.

同理，∵G、H分別是DC、DB的中點(diǎn)，

∴GHBC.

∴EFGH.

∴四邊形EFGH是平行四邊形(以下證法同上).