Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，直線(xiàn)AB的傾斜角為

3

4

π，
OB=2，設(shè)∠AOB=θ，θ∈(

π

2

，

3

4

π)
（1）用θ表示OA
（2）求

OA

•

OB

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)AB的傾斜角求出∠BAO的度數(shù)，又∠AOB=θ，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠ABO，由OB的值，利用正弦定理即可得到θ表示的OA；
（2）先根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出

OA

•

OB

，把

OA

和

OB

的模代入，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)θ的范圍求出這個(gè)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性即可得到正弦函數(shù)的最小值，進(jìn)而得到

OA

•

OB

的最小值．

解答：解：（1）在△ABC中，因?yàn)镺B=2，∠BAO=

π

4

 ，∠ABO=π-

π

4

-θ=

3π

4

-θ，
由正弦定理得：

OB

sin π 4

=

OA

sin∠ABO

，即

2

2 2

=

OA

sin( 3π 4 -θ)

，
所以OA=2

2

sin(

3π

4

-θ)；
（2）由（1）得

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cosθ=4

2

sin(

3π

4

-θ)•cosθ，
=2（sin2θ+cos2θ）+2=2

2

sin(2θ+

π

4

)+2，
因?yàn)?span id="mucbryx" class="MathJye">θ∈(

π

2

，

3π

4

)，所以2θ+

π

4

∈(

5π

4

，

7π

4

)，
所以當(dāng)2θ+

π

4

=

3π

2

，即θ=

5π

8

時(shí)，

OA

•

OB

的最小值為2-2

2

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道中檔題．