Question

（2013•青島二模）已知點F（1，0）為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點，過點A（a，0）、B（0，b）的直線與圓x2+y2=

12

7

相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 過點F的直線交橢圓C于M、N兩點，求證：

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦點坐標知c=1，則a²=b²+1①，寫出直線AB方程并化簡，由直線與圓相切得d2=

(ab)2

a2+b2

=

12

7

②，聯(lián)立①②解得a，b即得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），分情況討論：（1）當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂=1，易求

1

|MF|

+

1

|NF|

的值；（2）當直線l的斜率存在時，設l：y=k（x-1），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用兩點間距離公式可把|MF|、|NF|用橫坐標表示出來，不妨設x₂＜1，x₁＞1，則

1

|MF|

+

1

|NF|

通分后可代入韋達定理，化簡即得數(shù)值，綜合（1）（2）即得結論；

解答：解：（Ⅰ）因為F（1，0）為橢圓的右焦點，所以a²=b²+1①，
AB的直線方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
所以d2=

(ab)2

a2+b2

=

12

7

，化簡得12（a²+b²）=7a²b²②，
由①②得：a²=4，b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
（1）當直線l的斜率不存在時，x₁=x₂=1，則

1

4

+

y12

3

=1，解得y12=

9

4

，
所以|MF|=|NF|=

3

2

，則

1

|MF|

+

1

|NF|

=

4

3

；
（2）當直線l的斜率存在時，設l：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
|MF|=

(x1-1)2+y12

=

(x1-1)2+k2(x1-1)2

=

1+k2

|x1-1|，
同理|NF|=

1+k2

|x2-1|，
不妨設x₂＜1，x₁＞1，則

1

|MF|

+

1

|NF|

=

1

1+k2

(

1

|x2-1|

+

1

|x1-1|

)
=

1

1+k2

(

1

1-x2

+

1

x1-1

)=

1

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

x1+x2-x1x2-1

=

1

1+k2

×

( 8k2 3+4k2 )2-4× 4k2-12 3+4k2

8k2 3+4k2 - 4k2-12 3+4k2 -1

=

1

1+k2

×

12 1+k2

9

=

4

3

，
綜（1）（2），所以

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值

4

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，弦長公式、韋達定理是解決該類題目常用知識，要熟練掌握，解決（Ⅱ）問的關鍵是設x₂＜1，x₁＞1去掉絕對值符號然后代入韋達定理．